La statistica

La statistica è una scienza formale e uno strumento che studia l’utilizzo di un campione rappresentativo di dati, e le analisi che da tale campione derivano, cercando di spiegare le correlazioni e le dipendenze di un fenomeno fisico o naturale che si verifichi in forma aleatoria o condizionale.

La statistica, tuttavia, è molto più di questo: è lo strumento fondamentale che permette di portare a compimento il processo di indagine scientifica.

Risulata essere trasversale a una larga varietà di discipline: dalla fisica, alle scienze sociali, dalle scienze mediche, al controllo di qualità.

Viene impiegata per prendere decisioni nell’ambito degli affari o in seno a istituzioni governative.

La statistica si divide in due macroaree:

Statistica descrittiva

Si dedica a descrivere, visualizzare e riassumere i dati derivanti dai fenomeni oggetto di studio. I dati possono essere riassunti sotto forma numerica o grafica. Esempi semplici di parametri statistici sono: la media e la deviazione standard. Tra gli altri, alcuni esempi grafici sono invece gli istogrammi, la piramide dell’età, il diagramma a torta.

Statistica inferenziale

Si dedica a generalizzare i modelli, estrapolare le inferenze e le previsioni associate ai fenomeni in questione, tenendo in considerazione l’aleatorietà delle osservazioni. Viene impiegata per dare forma a modelli nei dati ed per estrapolare inferenze relativamente alla popolazione oggetto di studio. Tali inferenze possono prendere la forma di risposte a domande del tipo sì/no (verifica di ipotesi), stime di caratteristiche numeriche (stima), pronostici di future osservazioni, descrizioni di associazioni (correlazioni) o modellazione di relazioni tra variabili (analisi di regressione). Altre tecniche di modellazione includono l’analisi della varianza, le serie storiche o l’estrazione di dati.

Entrambi gli ambiti (descrittivo e inferenziale) includono la statistica applicata. La statistica inferenziale, a sua volta, si divide in statistica parametrica e statistica non parametrica.

Esiste anche una disciplina chiamata statistica matematica che si riferisce alle basi teoriche della materia.

Il termine «statistica» si riferisce anche al risultato dell’applicazione di un algoritmo statistico a un insieme di dati, come avviene, tra le altre, nella statistica economica e in quella criminale, per esempio.

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La statistica

Teoria della probabilità

La teoria della probabilità è la branca della matematica che studia i fenomeni aleatori. Questi si considerano contrapposti a quelli deterministici, che sono risultati unici e/o prevedibili di esperimenti realizzati in presenza delle stesse condizioni determinate, per esempio, se si riscalda dell’acqua fino a 100 gradi Celsius, al livello del mare, si otterrà del vapore. I fenomeni aleatori, al contrario, sono quelli che si ottengono come risultato di esperimenti realizzati anch’essi in presenza delle stesse condizioni determinate, ma come risultato possibile contemplano una serie di alternative, per esempio, il lancio di un dado o di una moneta. La teoria delle probabilità si occupa di attribuire un certo numero a ogni possibile risultato che possa verificarsi in un esperimento aleatorio, al fine di quantificare tali risultati e sapere se un fatto è più probabile di un altro.

Molti fenomeni naturali sono aleatori, ma in altri, come nel caso del lancio di un dado, il fenomeno non si ripete con le stesse condizioni, a causa delle caratteristiche del materiale, che fanno sì che non esista una simmetria dello stesso; in questo modo le ripetizioni non garantiscono una probabilità definita. Nei processi reali che vengono ridotti a modelli dalle distribuzioni di probabilità corrispondono a modelli complessi nei quali non si conoscono a priori tutti i parametri che intervengono; è questa una delle ragioni per le quali la statistica, che cerca di determinare tali parametri, non si riduce direttamente alla teoria della probabilità in sé.

Nel 1933 il matematico sovietico Andréi Kolmogórov ha proposto un sistema di assiomi per la teoria dell probabilità che si basava sulla teoria degli insiemi e su quella della misura, sviluppata alcuni anni prima da Lebesgue, Borel e Frechet e altri.

Tale approssimazione assiomatica che generalizza il quadro classico della probabilità, la quale obbedisce alla regola del calcolo dei casi favorevoli, rispetto a quelli possibili, ha permesso di rendere più rigorosi alcuni argomenti già impiegati, come per esempio lo studio dei problemi al di fuori dei quadri classici. Attualmente la teoria della probabilità trova applicazione nelle più svariate aree dello scibile, come la fisica (al cui proposito si devono menzionare lo sviluppo delle diffusioni e il movimento di Brown), o la finanza (in cui emerge il modello Black -Scholes per la valutazione delle azioni).

Teoria della probabilità

Meccanica quantistica relativistica

La meccanica quantistica relativistica tenta di combinare la meccanica relativistica e quella quantistica; lo sviluppo di questa teoria, però, porta alla conclusione che in un sistema quantico relativistico il numero di particelle non si conservi e, di fatto, non si possa parlare di meccanica delle particelle, ma semplicemente di una teoria quantistica dei campi. Tale teoria riesce a combinare principi quantistici e teoria della relatività speciale (non riuscendo tuttavia a includere principi di relatività generale). Questa teoria non prende in considerazione gli stati delle particelle, bensì quelli dello spazio-tempo. Di fatto, ognuno degli stati quantici possibili dello spazio-tempo risulta essere caratterizzato dal numero di particelle, di ogni tipo, rappresentate per campi quantici e dalle proprietà di tali campi.

Vale a dire, in un universo dove esistono Ni particelle del tipo i, negli stati quantici E1,… ENi rappresenta uno stato quantico diverso da un altro stato nel quale si osserverà lo stesso universo con un numero diverso di particelle. Tuttavia, entrambi, “stati” o aspetti dell’universo, sono due dei possibili stati quantici fisicamente realizzabili dello spazio-tempo. Di fatto, la nozione di particella quantistica viene abbandonata nella teoria quantistica dei campi per essere sostituita da quella di campo quantico. Un campo quantico è un’applicazione che attribuisce a una funzione liscia su una regione dello spazio-tempo, un operatore auto aggiunto. La funzione liscia rappresenta la regione dove si misura il campo, e i valori propri dell’operatore numero associato al campo rappresentano il numero di particelle osservabili nel momento di realizzare una misurazione di tale campo.

Meccanica quantistica relativistica

Meccanica quantistica

La meccanica quantistica si occupa di sistemi meccanici di piccole dimensioni o con energia molto ridotta (solo occasionalmente di sistemi macroscopici che presentano quantizzazione di qualche grandezza fisica). In questi casi i presupposti della meccanica classica non risultano adeguati. Nello specifico: il principio di determinazione, secondo il quale lo stato futuro del sistema dipende interamente dallo stato attuale, non risulta essere valido; i sistemi, quindi, possono, in alcuni momenti, evolvere in maniera non deterministica (si veda il postulato IV e il collasso della funzione di onda). Le equazioni per la funzione di onda della meccanica quantistica, infatti, non permettono di predire lo stato del sistema dopo una misurazione concreta, fatto noto come problema della misura. Il determinismo è, tuttavia, ugualmente presente, visto che tra due misurazioni “filtranti” il sistema evolve il maniera deterministica, in accordo con l’equazione di Schrödinger.

L’evoluzione non deterministica e le misurazioni effettuate sul sistema sono rette da un approccio probabilistico. In meccanica quantistica tale approccio probabilistico comporta, per esempio, nell’espressione più comune, la rinuncia al concetto di traiettoria di una particella. Ancora più estremo è il concetto di interpretazione di Copenaghen, che rinuncia completamente all’idea che le particelle occupino un luogo concreto e determinato nello spazio-tempo. La struttura interna di alcuni sistemi fisici di interesse, come per esempio gli atomi o le molecole, può essere spiegata solamente attraverso un trattamenteo quantistico, visto che la meccanica classica realizza delle previsioni relative a tali sistemi che contraddicono l’evidenza fisica. In tal senso la meccanica quantistica viene considerata come una teoria più esatta o più fondamenteale rispetto a quella classica, la quale, a oggi, viene considerata solamente una semplificazione conveniente della meccanica quantistica per corpi macroscopici.

Esiste anche una meccanica statistica quantistica che implica l’applicazione di restrizioni quantistiche al trattamento di particelle aggregate.

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Meccanica quantistica

Meccanica relativistica

La meccanica relativistica o teoria della relatività comprende:

La Teoria della relatività speciale, che descrive in maniera adeguata il comportamento classico dei corpi che si muovono a grandi velocità in uno spazio-tempo piano (non curvo).

La Teoria generale della relatività, che generalizza la precedente descrivendo il movimento in spazi-tempo curvi, oltre ad includere una teoria relativista della gravitazione, che a sua volta generalizza la teoria della gravitazione di Newton.

Alcune delle interessanti proprietà della dinamica relativista sono:

In una traiettoria curva la forza e l’accelerazione non sono generalmente vettori paralleli; la relazione tra accelerazione e forza tangenziali, infatti, è diversa da quella che esiste tra accelerazione e forza normali. Nemmeno la relazione tra il modulo della forza e il modulo dell’accelerazione è costante, visto che in questa appare l’inverso del fattore di Lorentz, che decresce con la velocità arrivando a essere nullo a velocità vicine alla velocità della luce.

L’intervallo di tempo misurato da diversi osservatori in movimento relativo non corrisponde; non esiste quindi un tempo assoluto e non si può stabilire un presente comune a tutti gli osservatori, nonostante continuino a esistere strette relazioni di causalità.

Altro fatto interessante della meccanica relativistica è che elimina l’azione a distanza. Le forze a cui è sottoposta una particella nel campo gravitazionale o elettromagnetico prodotto da altre particelle dipendono dalla posizione delle particelle in un istante precedente; le particelle, infatti, generano un’influenza sulle altre con un “ritardo”dell’ordine della distanza divisa per la velocità della luce.

Nonostante tutte queste differenze, la meccanica relativistica è, da un punto di vista formale, molto più simile alla meccanica classica, di quanto lo sia la meccanica quantistica. La meccanica relativistica continua a essere una teoria strettamente deterministica.

Meccanica relativistica

Meccanica classica

La meccanica classica è formata da aree di studio che vanno dalla meccanica dei corpi rigidi, e altri sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà, a sistemi come la meccanica dei corpi continui (sistemi con infiniti gradi di libertà). Esistono due formulazioni distinte, le quali differiscono per il grado di formalizzazione per i sistemi con un numero finito di gradi di libertà:

Meccanica newtoniana. Ha dato origine alle altre discipline e si divide appunto in: cinematica, studio del movimento in sé – senza considerarne le cause che lo originano – statica, studio dell’equilibrio tra forze e dinamica, studio del movimento considerandone le cause, vale a dire le forze.

Meccanica analitica, una formulazione matematica molto affermata all’interno della meccanica newtoniana che si basa sul principio di Hamilton, e dove trovano spazio le strutture delle varietà differenziali, e più concretamente lo spazio di configurazione e lo spazio delle fasi.

Se applicate a uno spazio euclideo tridimensionale e a sistemi di riferimento inerziali le due formulazioni sono fondamentalmente equivalenti.

I presupposti alla basi della meccanica classica sono:

Potere predittivo teoricamente infinito: matematicamente, se in un determinato istante si conoscessero (con precisione infinita) le posizioni e le velocità di un sistema finito di N particelle, se ne potrebbero teoricamente conoscere anche le posizioni e le velocità future. Inizialmente, infatti, esistono le funzioni vettoriai che forniscono le posizioni delle particelle in qualunque istante del tempo.

Meccanica classica